Question

 如圖1­6，四棱錐P ­ ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD.

圖1­6

(1)求證：AB⊥PD.

(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，問AB為何值時，四棱錐P ­ ABCD的體積最大？并求此時平面BPC與平面DPC夾角的余弦值．

Answer 1

解：(1)證明：因?yàn)?i>ABCD為矩形，所以AB⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.

(2)過P作AD的垂線，垂足為O，過O作BC的垂線，垂足為G，連接PG.

故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.

在Rt△BPC中，PG＝，GC＝，BG＝.

設(shè)AB＝m，則OP＝＝，故四棱錐P ­ ABCD的體積為

V＝×·m·＝.

因?yàn)?i>m＝＝

，

所以當(dāng)m＝，即AB＝時，四棱錐P ­ ABCD的體積最大．

此時，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0，0，0)，B，C，D，P，故＝，＝(0，，0)，CD＝.

設(shè)平面BPC的一個法向量為n₁＝(x，y，1)，

則由n₁⊥，n₁⊥，得解得x＝1，y＝0，則n₁＝(1，0，1)．

同理可求出平面DPC的一個法向量為n₂＝.

設(shè)平面BPC與平面DPC的夾角為θ，則cos θ＝＝＝.