Question

2．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-cos（2x+$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{3}$cos2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，B為銳角，且f（B）=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{3}$，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由條件求得sin（2B-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B=$\frac{π}{3}$．利用正弦定理求得△ABC外接圓的半徑為R的值，化簡(jiǎn)AB+BC 為2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤2$\sqrt{3}$，由此可得△ABC周長(zhǎng)的最大值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-cos（2x+$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{3}$cos2x=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）在△ABC中，B為銳角，且f（B）=2sin（2B-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，∴sin（2B-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
∵AC=$\sqrt{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$，設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，則2R=$\frac{AC}{sinB}$=2，
∴AB+BC=2RsinC+2RsinA=2R[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]=2[sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA]
=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤2$\sqrt{3}$，
故△ABC周長(zhǎng)的最大值為AB+BC+AC=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，此時(shí)，A=$\frac{π}{3}$=B，△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．