Question

在四棱錐P—ABCD中,底面是邊長為2的菱形,∠DAB=60°,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,PO⊥平面ABCD,PB與平面ABCD所成角為60°.

(1)求四棱錐P—ABCD的體積;

(2)若E是PB的中點(diǎn),求異面直線DE與PA所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

Answer 1

解:(1)在四棱錐P—ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB與平面ABCD所成角,∠PBO=60°.

在Rt△AOB中,BO=ABsin30°=1,又PO⊥BO,于是,PO=BOtan60°=,而底面菱形的面積S_ABCD=,

∴四棱錐P—ABCD的體積V_P—ABCD=××=2.

(2)取AB的中點(diǎn)F,連結(jié)EF、DF.

由E是PB的中點(diǎn),得EF∥PA,

∴∠FED是異面直線DE與PA所成角(或它的補(bǔ)角).

在Rt△AOB中,OA=ABcos30°==OP,于是,在等腰直角△POA中,PA=,則EF=.

而在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=.

cos∠FED=,

∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.