Question

10．已知數列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*），則$\frac{{a}_{3}+{a}_{1005}}{{a}_{3}{a}_{1005}}$=（　�。�

• A． 2015
• B． 2016
• C． 2017
• D． 2018

Answer 1

分析 a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*），取倒數可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，利用等差數列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴數列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數列，首項為3，公差為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=3+2（n-1）=2n+1，
則$\frac{{a}_{3}+{a}_{1005}}{{a}_{3}{a}_{1005}}$=$\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{1005}}$=7+2×1005+1=2018．
故選：D．

點評 本題考查了等差數列的通項公式、“取倒數”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．