Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）將點(diǎn)（2，3）代入雙曲線方程，運(yùn)用雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和a，b，c的關(guān)系，解方程即可得到，，進(jìn)而得到雙曲線的方程；

（2）直線l的方程為，代入雙曲線的方程，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，由三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求值．

（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，

由題可知：點(diǎn)在雙曲線上，

從而有 ，解得

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）由已知得直線的方程為即

所以 原點(diǎn)到直線的距離

聯(lián)立消去可得

設(shè)，則

所以 ，

所以 的面積.