Question

已知多項(xiàng)式.（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）試探求對(duì)一切整數(shù)n，是否一定是整數(shù)？并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）先用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切正整數(shù)n，是整數(shù).

①當(dāng)n=1時(shí)，,結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N）時(shí)，結(jié)論成立，即是整數(shù)，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

=

根據(jù)假設(shè)是整數(shù)，而顯然是整數(shù).

∴是整數(shù)，從而當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.

由①、②可知對(duì)對(duì)一切正整數(shù)n，是整數(shù). ……………………………………………7分

（Ⅱ）當(dāng)n=0時(shí)，是整數(shù).……………………………………………………8分

(Ⅲ)當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時(shí)，令n= -m，則m是正整數(shù)，由（1）是整數(shù)，

所以

=是整數(shù).

綜上，對(duì)一切整數(shù)n，一定是整數(shù).………………………………………10分

【解析】略