Question

如圖，在三棱柱中， ，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，.

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在線段上，，且使直線和平面所成的角的正弦值為，求的值.

Answer 1

（Ⅰ）連接交于點(diǎn)，連接，得到∥，進(jìn)一步可得∥平面.                          
（Ⅱ）。

試題分析：（Ⅰ）證明：在三棱柱中，
連接交于點(diǎn)，連接，則是的中點(diǎn)
在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
所以∥，                   
又，，
所以∥平面.                          （5分）
（Ⅱ）在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)
所以，又，是平面內(nèi)的相交直線，
所以平面，可知.                （7分）
又，是平面內(nèi)的相交直線，交點(diǎn)是D，
知平面. 平面
在三棱柱中，為線段上的點(diǎn)，
過分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接
由平面，，得
又，、是平面內(nèi)的相交直線
所以平面，
是在平面內(nèi)的射影，
是直線和平面所成的角.                （12分）
設(shè)，由得，
可得，
所以在中，, 解得 （14分）
點(diǎn)評：中檔題，立體幾何問題中，平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角、距離、面積、體積等的計(jì)算，是常見題型，基本思路是將空間問題轉(zhuǎn)化成為平面問題，利用平面幾何知識加以解決。要注意遵循“一作，二證，三計(jì)算”。利用“向量法”，通過建立空間直角坐標(biāo)系，往往能簡化解題過程。