Question

5．函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）的單調(diào)遞增區(qū)間是[4kπ-$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z．

Answer 1

分析 由題意可得本題即求t=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）在函數(shù)值小于零時的增區(qū)間．再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象特征可得 2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$＜2kπ，k∈Z，由此求得x的范圍，即為所求．

解答 解：函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）的單調(diào)遞增區(qū)間，即函數(shù)y=sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）在函數(shù)值大于零時的單調(diào)遞減區(qū)間．
再根據(jù)y=sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）=-sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$），可得本題即求t=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）在函數(shù)值小于零時的增區(qū)間．
再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象特征可得 2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$＜2kπ，k∈Z，
求得4kπ-$\frac{π}{2}$≤x＜4kπ+$\frac{π}{2}$，可得原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[4kπ-$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z，
故答案為：[4kπ-$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的定義域，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．