Question

11．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AC=2，$BC=2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）如果M是棱PD上的點(diǎn)，N是棱AB上一點(diǎn)，AN=2NB，且三棱錐N-BMC的體積為$\frac{1}{6}$，求$\frac{PM}{MD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC，在△ABC中，由已知邊的關(guān)系可得AB⊥AC．再由AB∥CD，得AC⊥CD．結(jié)合PA⊥底面ABCD，得PA⊥CD，由線面垂直的判定可得CD⊥平面PAC，從而得到平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）設(shè)M點(diǎn)到面ABCD的距離為d，求出三角形BNC的面積，結(jié)合三棱錐N-BMC的體積為$\frac{1}{6}$求得d，再由三角形相似可得$\frac{PM}{MD}$的值．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)AC，在△ABC中，AB=AC=2，$BC=2\sqrt{2}$，
∴BC²=AB²+AC²，則AB⊥AC．
∵AB∥CD，∴AC⊥CD．
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，
∵CD⊆面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC；
解：（Ⅱ）設(shè)M點(diǎn)到面ABCD的距離為d，
則${s_{△BNC}}=\frac{1}{2}BN•CA=\frac{2}{3}$．
由V_N-BMC=V_M-BNC=$\frac{1}{3}{S}_{△BNC}•d$=$\frac{1}{6}$，
得$d=\frac{3}{4}$．
∵$\fracmbnvy5e{PA}=\frac{DM}{PD}=\frac{MD}{PM+MD}=\frac{3}{8}$，
∴$\frac{PM}{MD}=\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了等積法求多面體的體積，屬中檔題．