Question

12．已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若對任意實數x，不等式2x≤f（x）≤$\frac{1}{2}$（x+1）²恒成立，求f（-1）的取值范圍；
（2）當a=1時，對任意x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據不等式，先令x=1，可得f（1）=2，即a+b+c=2，再由不等式恒成立，結合二次函數的判別式小于等于0，及配方思想，可得a的范圍，進而得到f₂（-1）=4a-2，可得范圍．
（2）若對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，f（x）_max-f（x）_min≤4，結合二次函數的圖象和性質分類討論，可得實數b的取值范圍．

解答 解：（1）若對任意實數x，不等式2x≤f（x）≤$\frac{1}{2}$（x+1）²恒成立，
∴當x=1時，2≤f（1）≤$\frac{1}{2}$（1+1）²=2，
即f（1）=2，則a+b+c=2，
由2x≤f（x）恒成立，即為ax²+（b-2）x+c≥0，
可得a＞0，且（b-2）²-4ac≤0，
即有（a+c）²-4ac≤0，即有（a-c）²≤0，
則a=c成立，
即有b=2-2a，
又f（x）-$\frac{1}{2}$（x+1）²=ax²+（2-2a）x+a-$\frac{1}{2}$（x+1）²=（a-$\frac{1}{2}$）（x-1）²，
對任意的x∈R，都有f（x）≤$\frac{1}{2}$（x+1）²，即有0＜a≤$\frac{1}{2}$，
故f（-1）=a-b+c=4a-2的取值范圍是（-2，0]．
（2）當a=1時，f（x）=x²+bx+c，
函數f（x）=x²+bx+c對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4恒成立，
即f（x）_max-f（x）_min≤4，
記f（x）_max-f（x）_min=M，則M≤4．
當|$-\frac{2}$|＞1，即|b|＞2時，M=|f（1）-f（-1）|=|2b|＞4，與M≤4矛盾；
當|$-\frac{2}$|≤1，即|b|≤2時，M=max{f（1），f（-1）}-f（$-\frac{2}$）=$\frac{f（1）+f（-1）+|f（1）-f（-1）|}{2}$-f（$-\frac{2}$）=（1+$\frac{\left|b\right|}{2}$）²≤4，
解得：|b|≤2，
即-2≤b≤2，
綜上，b的取值范圍為-2≤b≤2．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．綜合較強，有一定的難度．