Question

（2013•濟(jì)南二模）已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+(a-2)x+c的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若g(x)=

kf′(x)

x

-2lnx在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（0）=3，f′（1）=0，解之可得a，c，可得解析式；
（2）可得函數(shù)g（x）的解析式，問題轉(zhuǎn)化為k≥

2x

x2+1

在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，只需構(gòu)造函數(shù)h(x)=

2x

x2+1

，x∈（0，+∞），由基本不等式求最值即可．

解答：解：（1）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=ax²+a-2，…（2分）
由圖可知函數(shù)f（x）的圖象過點（0，3），且f′（1）=0．
得

c=3 2a-2=0

，解得

c=3 a=1

．…（4分）
∴f(x)=

1

3

x3-x+3．…（5分）
（2）∵g(x)=

kf′(x)

x

-2lnx=kx-

k

x

-2lnx，…（6分）
∴g′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2+k-2x

x2

．…（8分）
∵函數(shù)y=g（x）的定義域為（0，+∞），…（9分）
∴若函數(shù)y=g（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，
則函數(shù)g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即kx²+k-2x≥0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立．…（10分）
即k≥

2x

x2+1

在區(qū)間（0，+∞）上恒成立．
令h(x)=

2x

x2+1

，x∈（0，+∞），
則h(x)=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號）．…（12分）
∴k≥1．…（13分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，涉及恒成立問題，屬基礎(chǔ)題．