Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₃=5，S₁₅=225．數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b₃=a₂+a₃，b₂b₅=128（其中n=1，2，3，…）．
（I）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；（II）記c_n=a_nb_n，求數(shù)列c_n前n項和T_n．

Answer 1

（I）公差為d，
則

a1+2d=5 15a1+15×7d=225

，
∴

a1=1 d=2

故a_n=2n-1（n=1，2，3，…）．
設等比數(shù)列b_n的公比為q，則

b3=8 b3 q •b3q2=128

，∴b₃=8，q=2
∴b_n=b₃•q^n-3=2ⁿ（n=1，2，3，…）．
（II）∵c_n=（2n-1）•2ⁿ∵T_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2T_n=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
作差：-T_n=2+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+

23(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n+1
=2+2³（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2ⁿ⁺²-8-2ⁿ⁺²n+2ⁿ⁺¹=-6-2ⁿ⁺¹（2n-3）
∴T_N=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6（n=1，2，3，…）．