Question

若F₁、F₂，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在雙曲線左支上，M在右準(zhǔn)線上，且滿足

(Ⅰ)求此雙曲線的離心率；

(Ⅱ)若此雙曲線過(guò)點(diǎn)N(2，)，求雙曲線方程；

(Ⅲ)設(shè)(Ⅱ)中雙曲線的虛軸端點(diǎn)為B₁、B₂(B₁在y軸正半軸上)，過(guò)B₂作直線AB與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，求時(shí)，直線AB的方程．

Answer 1

解：(Ⅰ)由知四邊形PF₁OM為平行四邊形，

又由

知OP平分∠F₁OM,∴PF₁OM為菱形, 

設(shè)半焦距為c,由||=c知||=c,

||=c,∴||=||+2a=c+2a,

又

e²-e-2=0,∴e=2.(e=-1舍去) 

(Ⅱ)∵e=2=,∴c=2a,

∴雙曲線方程為,將點(diǎn)（2,）代入，有,∴a²=3.

即所求雙曲線方程為. 

(Ⅲ)依題意得B₁(0,3),B₂(0,-3).

設(shè)直線AB的方程為y=kx-3,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

則由(3-k²)x²+6kx-18=0. 

∵雙曲線的漸近線為y=±x,

∴當(dāng)k=±時(shí)，AB與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn),

即k≠±.  ∵x₁+x₂=.

y₁+y₂=k(x₁+x₂)-6=,

y₁y₂=k²x₁x₂-k(x₁+x₂)+9=9

又=(x₁,y₁-3), =(x₂,y₂-3),

⊥x₁x₂+y₁y₂-3(y₁+y₂)+9=0, 

∴+9=0.即k²=5,∴k=±.

直線AB的方程為y=±x-3.