Question

已知函數(shù)f(x)=2x³-5ax²+4a²x+1(a∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)a＞,求函數(shù)f(x)在［1,2］上的最小值.

Answer 1

解:（1）f′(x)=6x²-10ax+4a²

=6(x-a)(x-a).

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=2x³+1是R上的增函數(shù).

當(dāng)a＞0時(shí)，a＞a,在區(qū)間（a,+∞）和區(qū)間（-∞,a）上，f′(x)＞0,

所以(a,+∞),(-∞,a)是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

在區(qū)間（a,a）上，f′(x)＜0，所以此區(qū)間是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

當(dāng)a＜0時(shí)，a＜a,在區(qū)間（a,+∞）和區(qū)間(-∞,a)上，f′(x)＞0，所以(a,+∞),(-∞,a)是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

在區(qū)間（a,a）上，f′(x)＜0，所以此區(qū)間是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）因?yàn)閍＞,所以a＞1.

①當(dāng)2≤a,即a≥3時(shí)，在［1,2］上函數(shù)f(x)為增函數(shù),f(x)的最小值為f(1),

f(1)=4a²-5a+3;

②當(dāng)a＜2≤a,即2≤a＜3時(shí)，1＜a,根據(jù)f(x)的單調(diào)性，f(x)的最小值為f(1)、f(2)中的值小的一個(gè)，

因?yàn)閒(2)-f(1)=4a²-15a+14=(a-2)(4a-7)＞0,

所以最小值為f(1)=4a²-5a+3;

③當(dāng)2＞a，即＜a＜2時(shí)，根據(jù)f(x)的單調(diào)性，f(x)的最小值為f(1)、f(a)中的一值小的一個(gè)，因?yàn)閒(a)-f(1)=a³-4a²+5a-2=(a-2)(a-1)²＜0,所以最小值為f(a)=a³+1;

綜上，當(dāng)＜a＜2時(shí)，f(x)的最小值為a³+1;當(dāng)a≥2時(shí)，f(x)的最小值為4a²-5a+3.