Question

（2013•�？诙�模）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱線長為1，面對角線B₁D₁上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF=

2

2

，則下列四個結論中①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③三棱錐A-BEF的體積為定值 ④異面直線AE，BF所成的角為定值，其中正確的個數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)線面垂直的判定與性質，可證出AC⊥BE得①正確；根據(jù)正方體的定義結合面面平行的性質，可得EF∥平面ABCD，得②正確；根據(jù)正方體的性質，可算出△BEF的面積與點A到平面BEF的距離都等于常數(shù)，從而得到三棱錐A-BEF的體積為定值，故③正確；在平面BB₁D₁D中作EH∥BF交B₁B于H，連結AH，可得∠AEH（或其補角）等于異面直線AE、BF所成的角．觀察圖形的變化可得異面直線AE、BF所成的角不是定值，故④不正確．由此可得本題的答案．

解答：解：對于①，因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，
所以BB₁⊥AC，結合AC⊥BD，得到AC⊥平面BB₁D₁D
由于BE?平面平面BB₁D₁D，從而得到AC⊥BE，故①正確；
對于②，因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
且EF?平面A₁B₁C₁D₁，結合面面平行的性質可得EF∥平面ABCD，
由此可得②正確；
對于③，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角面BB₁D₁D中，
△BEF的面積S=

1

4

SBB1D1D=

2

4

又∵點A到平面BEF的距離為

1

2

AC=

2

2

∴三棱錐A-BEF的體積為V=

1

3

×

2

4

×

2

2

=

1

12

（定理）
由此可得③正確；
對于④，平面BB₁D₁D中作EH∥BF交B₁B于H，連結AH，
則∠AEH（或其補角）等于異面直線AE、BF所成的角
隨著EF在B₁D₁上運動，△AEH的形狀在不斷地改變，從而得到∠AEH的大小不等于定值
因此異面直線AE、BF所成的角不為定值，故④不正確．
綜上所述，正確的命題是①②③，共3個
故選：C

點評：本題給出正方體中的幾個命題，要求我們找出其中的真命題．著重考查了正方體的性質、線面垂直的判定與性質和面面平行的性質、三棱錐的體積公式和異面直線所成角的定義等知識，屬于中檔題．