Question

（滿分12分）如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．

(1)求證：AB₁⊥平面A₁BD；

(2)求二面角A－A₁D－B的余弦值；

(3)求點C₁到平面A₁BD的距離．

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析；(2) ．(3)．

【解析】本題可以用空間向量法求解.第一步建系至關重要.取BC中點O，連結AO．∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC．∵在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥平面BCC₁B₁．取B₁C₁中點O₁，以O為原點，的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系.（1）根據(jù)向量垂直的坐標運算法則證明即可.

（2）設平面A₁AD的法向量為，再根據(jù)，得到x,y,z之間的等式關系，進而得到一個滿足條件的法向量，再根據(jù)求解即可.

(3)利用向量求距離：.

證明：(1)取BC中點O，連結AO．∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC．

∵在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥平面BCC₁B₁．

取B₁C₁中點O₁，以O為原點，的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A₁(0，2，)，A(0，0，)，B₁(1，2，0)，

∴．

∴

∴，∴AB₁平面A₁BD．

(2)設平面A₁AD的法向量為．

＝(－1，1，－)，＝(0，2，0)．

∵，

∴

令z＝1得n＝(－，0，1)為平面A₁AD的一個法向量．

由(1)知AB₁⊥平面A₁BD，為平面A₁BD的法向量．

．

∴二面角A－A₁D－B的大小的余弦值為．

 

(3)C₁點到A₁BD的距離為

．