Question

6．已知函數(shù)f（x）=mlnx-$\frac{1}{2}$x²（m∈R）滿足f'（1）=1．
（1）求m的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$x²-3x+c）在[1，3]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間．
（2）推出g（x）=2lnx-x²+3x-c，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷好的單調(diào)性，利用函數(shù)g（x）在[1，3]有兩個(gè)零點(diǎn)列出不等式組，然后求出c的范圍．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）函數(shù)$f（x）=mlnx-\frac{1}{2}{x^2}$的定義域是（0，+∞）．          …（1分）
∵${f}^{′}（x）=\frac{m}{x}-$x，由f′（1）=1得m-1=1，
∴m=2，即$f′（x）=\frac{2}{x}-x=\frac{2-{x}^{2}}{x}$                 …（2分）
令f′（x）=0得：$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$（舍去）．         …（3分）
當(dāng)$x∈（0，\sqrt{2}）$時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在$（0，\sqrt{2}）$上是增函數(shù)；
當(dāng)$x∈（\sqrt{2}，+∞）$時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在$（\sqrt{2}，+∞）$上是減函數(shù)．…（5分）
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間是$（0，\sqrt{2}）$，減區(qū)間是$（\sqrt{2}，+∞）$．…（6分）
（2）由（1）可知$f（x）=2lnx-\frac{1}{2}{x^2}$，
∴g（x）=2lnx-x²+3x-c，…（7分）
∴$g′（x）=\frac{2}{x}-2x+3=\frac{-2{x}^{2}+3x+2}{x}$．…（8分）
令g′（x）=0得：x=2或$x=-\frac{1}{2}$（舍去）．…（9分）
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，g′（x）＞0，則g（x）在[1，2）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在（2，3]上單調(diào)遞減．…（10分）
又∵函數(shù)g（x）在[1，3]有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于：$\left\{\begin{array}{l}g（1）≤0\\ g（2）＞0\\ g（3）≤0\end{array}\right.$，…（12分）
∴$\left\{\begin{array}{l}2-c≤0\\ 2ln2+2-c＞0\\ 2ln3-c≤0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}c≥2\\ c＜2ln2+2\\ c≥2ln3\end{array}\right.⇒2ln3≤c＜2ln2+2$，…（13分）
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍是$[2ln3，_{\;}^{\;}2ln2+2）$．              …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，函數(shù)的零點(diǎn)的求法考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．