Question

已知如圖所示，AB是⊙O中一條長為4的弦，P是⊙O上一動點，．問是否存在以A、P、B為頂點的面積最大的三角形，試說明理由；若存在，求出這個三角形的面積．

Answer 1

答案：略
解析：

解：存在以A、P、B為頂點的面積最大的三角形． ∵，∴． ∴AB不是⊙O的直徑，取中點P，作PD⊥AB于D，則PD為弓形高，且PD所在的直線必過圓心． ∵當(dāng)點P在優(yōu)弧上時，PD大于圓的半徑， 當(dāng)點P在劣弧上時，PD小于⊙O的半徑． ∴優(yōu)弧與弦AB構(gòu)成的弓形的弓高大于劣弧與弦AB構(gòu)成的弓形的弓高． ∴點P必在優(yōu)弧上，∵AB長為定值． ∴當(dāng)點P為優(yōu)弧中點時，△APB的面積最大，連結(jié)PA、PB． 則等腰三角形APB即為所求，作⊙O的直徑AC，連結(jié)BC． ∴∠ABC=90°，∠APB=∠C，∴．設(shè)BC=x，則AC=3x，在Rt△ABC中，AB=4，由勾股定理得，， ∴，得． ∴，， ∴． 又∵AO=OC，AD=DB， ∴， ∴， ∴．