Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²）a_n+sin²，n=1，2，3，…。
（1）求a₃，a₄并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，S_n=b₁+b₂+…+b_n，證明：當(dāng)n≥6時(shí)，|S_n-2|＜。

Answer 1

解：（1）因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110916/20110916163731562979.gif">
所以

一般地當(dāng)時(shí)，=
即
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此
當(dāng)時(shí)，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）由（1）知 ①
 ②
①-②得，

所以
要證明當(dāng)時(shí)，成立，只需證明當(dāng)時(shí)，成立
①當(dāng)n=6時(shí)，成立
②假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
由①②所述，當(dāng)n≥6時(shí)，
即當(dāng)n≥6時(shí)，。