Question

已知函數(shù)f（x）=2sin

ωx

2

•cos

ωx

2

-2

3

cos²

ωx

2

+

3

（ω＞0），其圖象與直線y=2的相鄰兩個公共點之間的距離為2π．
（Ⅰ）若x∈[0，π]，試求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）△ABC的三個內(nèi)角A，B，C及其所對的邊a，b，c滿足條件：f（A）=0，a=2，且b，a，c成等比數(shù)列．試求

CA

在

CB

方向上的抽影n的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，根據(jù)二倍角公式，化簡函數(shù)解析式，然后，根據(jù)周期公式，確定解析式，最后，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解；
（Ⅱ）首先，根據(jù)f（A）=0，得到A=

π

3

，結(jié)合余弦定理求解b=c，最后，求解結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin

ωx

2

•cos

ωx

2

-2

3

cos²

ωx

2

+

3

=sinωx-

3

cosωx
=2sin（ωx-

π

3

），
∴f（x）=2sin（ωx-

π

3

），
∵圖象與直線y=2的相鄰兩個公共點之間的距離為2π．
∴T=

2π

ω

=2π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（x-

π

3

），
∵x∈[0，π]，
∴（x-

π

3

）∈[-

π

3

，

2π

3

]
∵（x-

π

3

）∈[

π

2

，

2π

3

，
∴x∈[

5π

6

，π]，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[

5π

6

，π]．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ），得f（A）=2sin（A-

π

3

）=0，
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

，
∵b，a，c成等比數(shù)列．
∴a²=bc，
∵a²=b²+c²-2bccos

π

3

，
∴b=c，
∴B=C=

π

3

，
∴△ABC為等邊三角形，
∴n=|

CA

|cosC=1．

點評：本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換公式、二倍角公式、解三角形和平面向量等知識，考查比較綜合，屬于中檔題．