Question

19．如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．
（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）若PA=AB=2，求三棱錐D-BEC的體積．

Answer 1

分析 （1）利用中位線的方法在平面內(nèi)找到與已知直線平行的直線，結(jié)合直線與平面平行的判定定理即可得到答案．
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求三棱錐D-BEC的體積．

解答 （1）證明：∵O是AC的中點，E是PC的中點，∴OE∥AP，
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE；
（2）解：由題意，PO=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，∴E到平面DBC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴三棱錐D-BEC的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理，考查三棱錐D-BEC的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．