Question

（2013•惠州二模）已知y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意x∈R，都有：f(x+2)=

1-f(x)

1+f(x)

，又f(1)=

1

2

，f(2)=

1

4

，則f（2007）=

1

3

．

Answer 1

分析：直接利用條件求出前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律為當(dāng)x∈N^*時(shí)，f（n）的值以4為周期，從而求得f（2007）的值．

解答：解：令x=1，則f(3)=

1-f(1)

1+f(1)

=

1

3

，
令x=2，則f(4)=

1-f(2)

1+f(2)

=

3

5

，
同理得f(5)=

1

2

，f(6)=

1

4

，
即當(dāng)x∈N^*時(shí)，f（n）的值以4為周期，
所以f(2007)=f(501×4+3)=f(3)=

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)抽象函數(shù)周期性的考查．抽象函數(shù)是相對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達(dá)式，但是有一定的對(duì)應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對(duì)應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．