Question

已知橢圓C₁：和動圓，直線l：y=kx+m與C₁和C₂分別有唯一的公共點A和B．
（I）求r的取值范圍；
（II ）求|AB|的最大值，并求此時圓C₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，聯(lián)立直線方程和圓的方程，由直線和橢圓及直線和圓都有唯一公共點，利用判別式等于0得到k與r的關系k²=，由k²≥0求解r的取值范圍；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的方程求出A，B兩點的橫坐標，寫出AB兩點間的距離，利用k，m，r之間的關系把兩點間的距離轉(zhuǎn)化為含有r的函數(shù)式，利用基本不等式求|AB|的最大值，并求出此時圓 C₂的方程．
解答：解：（Ⅰ）由，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
由于l與C₁有唯一的公共點A，故△₁=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=0，
從而m²=1+4k² ①
由，得（1+k²）x²+2kmx+m²-r²=0．
由于l與C₂有唯一的公共點B，故△₂=4k²m²-4（1+k²）（m²-r²）=0，
從而m²=r²（1+k²） ②
由①、②得k²=．
由k²≥0，得1≤r²＜4，所以r的取值范圍是[1，2）．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（Ⅰ）的解答可知
x₁=-=-，x₂=-=-．
|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=（1+k²）•=•k²•（4-r²）²
=•（4-r²）²=，
所以|AB|²=5-（r²+）（1≤r＜2）．
因為r²+≥2×2=4，當且僅當r=時取等號，
所以當r=時，|AB|取最大值1，此時C₂的方程為x²+y²=2．
點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法及整體帶代換能力，訓練了學生的計算能力，考查了利用基本不等式求最值，屬難題．