Question

已知實數(shù)a＞0，命題p：實數(shù)x滿足x²-5ax+4a²＜0，命題q：實數(shù)x滿足

x-4

x-2

≤0．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分而不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：（1）若a=1，求出命題p，q的等價條件，利用p∧q為真，則p，q為真，即可求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分而不必要條件，等價于，利用￢p是￢q的充分而不必要條件，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）若a=1，不等式為x²-5x+4＜0，即1＜x＜4，即p：1＜x＜4，
命題q：實數(shù)x滿足

x-4

x-2

≤0，則2＜x≤4，即q：2＜x≤4，
若p∧q為真，則p，q同時為真，則實數(shù)x的取值范圍是2＜x≤4；
（2）∵x²-5ax+4a²＜0，
∴（x-a）（x-4a）＜0，
若a＞0，則不等式的解為a＜x＜4a，
若a＜0，則不等式的解為4a＜x＜a，
∵q：2＜x≤4，
∴若￢p是￢q的充分而不必要條件，則q是p的充分而不必要條件，
則a＞0時，

a≤2 4a＞4

，解得1＜a≤2，
當(dāng)a＜0，無解，
綜上，實數(shù)a的取值范圍是1＜a≤2．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，以及不等式的求解，利用不等式的解法時解決本題的關(guān)鍵．