Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+asinx+

a2+b-1

a

．
（Ⅰ）設a＞0，b=

5

3

，求證：f(

π

6

)≥

9

4

（Ⅱ）若b=-2，f（x）的最大值大于6，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設a≥2，若存在x∈R，使得f（x）≤0，求a²+b²-8a的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵a＞0，b=

5

3

∴f(

π

6

)=sin2

π

6

+asin

π

6

+

a2+ 5 3 -1

a

=

3a

2

+

2

3a

+

1

4

≥2

3a 2 * 2 3a

+

1

4

=

9

4

即f(

π

6

)≥

9

4

（Ⅱ）∵b=-2，∴f(x)=sin2x+asinx+a-

3

a

，設t=sinx，令g(t)=t2+at+a-

3

a

=(t+

a

2

)2-

a2

4

+a-

3

a

(-1≤t≤1)
當-

a

2

＜0時，h(a)=g(1)；當-

a

2

＞0時，h(a)=g(-1)；

h(a)=

1+2a- 3 a (a＞0) 1- 3 a (a＜0)

解得a的取值范圍是(-

3

5

，0)∪(3，+∞)
（Ⅲ）設t=sinx，令?(t)=t2+at+a+

b-1

a

，
∴φ(t)的圖象的對稱軸t=-

a

2

≤-1，
設t=sinx，令φ（t）=t2+at+a+

b-1

a

=(t+

a

2

)2-

a2

4

+a+

b-1

a

(-1≤t≤1)
∵a≥2
∴b≤1-a≤-1