Question

18．向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2}$，（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥（$\overrightarrow{2a}$-$\overrightarrow b$），則向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可得$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）=0$，展開后代入向量模，則向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角可求．

解答 解：由$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，得
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）=2{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow-{\overrightarrow}^{2}=0$，
∵$\left|{\overrightarrow a}\right|=1$，$\left|{\overrightarrow b}\right|=\sqrt{2}$，
∴$2+1×\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞-2=0$，即$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=0$，
∴向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了利用向量數(shù)量積求向量的夾角公式，是中檔題．