Question

已知函數(shù)f（x）=2x+alnx（a∈R），
(1)討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若函數(shù)f（x）的最小值為h（a），m，n為h（a）定義域A中的任意兩個(gè)值，求證：。

Answer 1

解：(1)，
令，
當(dāng)a≥0時(shí)，，
∴函數(shù)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，若；
若；
∴函數(shù)上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
(2)由(1)知，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，
∴a＜0，
又由(1)知，若a＜0，
則函數(shù)f（x）在處取得極小值，
∴函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，解得a＜-2e，
∴a的取值范圍是；
(3)由(1)(2)知，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)最小值；
當(dāng)a＜0時(shí)，，
對(duì)于且m≠n，有
 
，
不妨設(shè)m＜n＜0，則，
令，則
，
設(shè)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取“=”，
所以函數(shù)u（t）在上單調(diào)遞增，
故t＞1時(shí)，，
又n＜0，
∴，
所以。