Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12
（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n
（2）令bn=3an，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列
（3）令cn=

1

anan+1

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得a₂=4，繼而可得公差d，于是可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）易求b_n=9ⁿ，可證得

bn+1

bn

=9，從而可證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）利用裂項(xiàng)法可知，c_n=

1

anan+1

=

1

2n(2n+2)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），于是可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，
∴3a₂=12，
∴a₂=4，
∴數(shù)列{a_n}的公差d=a₂-a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n；
（2）∵a_n=2n，
∴b_n=3an=3²ⁿ=9ⁿ，
∴

bn+1

bn

=

9n+1

9n

=9，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）∵c_n=

1

anan+1

=

1

2n(2n+2)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

1

4

（1-

1

n+1

）
=

n

4(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比關(guān)系的確定，突出裂項(xiàng)法求和的考查，屬于中檔題．