Question

函數(shù)f（x）=x²+|x+a|-b的圖象上存在點(diǎn)P（x₁，f（x₁））對任意a∈[-1，3]都不在x軸的上方，則b的最小值為

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4

．

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）=x²+|x+a|-b的圖象上存在點(diǎn)P（x₁，f（x₁））對任意a∈[-1，3]都不在x軸的上方，可得任意a∈[-1，3]，函數(shù)f（x）的最小值f（x）_min≤0恒成立，分a∈[-1，-

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2

]時(shí)，a∈（-

1

2

，

1

2

）時(shí)和a∈[

1

2

，3]時(shí)三種情況，討論（x）_min≤0恒成立時(shí)b的范圍，最后綜合分類結(jié)果，即可得到答案．

解答：解：若函數(shù)f（x）=x²+|x+a|-b的圖象上對任意a∈[-1，3]
都有點(diǎn)P（x₁，f（x₁））都不在x軸的上方
則對任意a∈[-1，3]，函數(shù)f（x）的最小值f（x）_min≤0恒成立，
∵f（x）=

x2-x-a-b，x≤-a x2+x+a-b，x＞-a

∵a∈[-1，3]
∴當(dāng)a∈[-1，-

1

2

]時(shí)，-a∈[

1

2

，1]，此時(shí)f（x）_min=f（

1

2

）=-

1

4

-a-b，
若f（x）_min≤0恒成立，則b≥

3

4

∴當(dāng)a∈（-

1

2

，

1

2

）時(shí)，-a∈（-

1

2

，

1

2

），此時(shí)f（x）_min=f（-a）=a²-b，
若f（x）_min≤0恒成立，則b≥1
當(dāng)a∈[

1

2

，3]時(shí)，-a∈[-3，-

1

2

]，此時(shí)f（x）_min=f（-

1

2

）=-

1

4

+a-b，
若f（x）_min≤0恒成立，則b≥

11

4

若f（x）_min≤0恒成立，則b的最小值為

11

4

故答案為

11

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點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象，其中分類討論出a∈[-1，-

1

2

]時(shí)，a∈（-

1

2

，

1

2

）時(shí)和a∈[

1

2

，3]時(shí)三種情況，討論（x）_min≤0恒成立時(shí)b的范圍，是解答本題的關(guān)鍵．