Question

2．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，拋物線C上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，且點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若P為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，求線段FP的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）先求拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義，即可求得結(jié)論；
（2）利用代入法，即可求線段FP的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（1）拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為：x=-$\frac{p}{2}$
∵拋物線C上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，且點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為5，
∴根據(jù)拋物線的定義可知，3+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=4
∴拋物線C的方程是y²=8x；
（2）由（1）知F（2，0），設(shè)P（x₀，y₀），M（x，y），則$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{{x_0}+2}}{2}}\\{y=\frac{y_0}{2}}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=2x-2}\\{{y_0}=2y}\end{array}}\right.$，
而點(diǎn)P（x₀，y₀）在拋物線C上，$y_0^2=8{x_0}$，
∴（2y）²=8（2x-2），即y²=4（x-1），
此即所求點(diǎn)M的軌跡方程．

點(diǎn)評(píng) 本題以拋物線為載體，考查拋物線定義的運(yùn)用，考查代入法求軌跡方程，正確運(yùn)用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵．