Question

6．設(shè)橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，且△PF₁F₂的周長(zhǎng)為4+2$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，過橢圓C₁上的一點(diǎn)D作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E，若C點(diǎn)滿足$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{OC}$，連接AC交DE于點(diǎn)P，求證：PD=PE．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率e，得到a²=4b²，再結(jié)合橢圓△PF₁F₂的周長(zhǎng)為4+2$\sqrt{3}$．解得a²，4b²，則橢圓的方程可求；
（2）求出A，B的坐標(biāo)，設(shè)出D，E，C的坐標(biāo)，結(jié)合條件$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{OC}$，可得D，E，C的坐標(biāo)的關(guān)系，把AC，DE的方程都用D點(diǎn)的坐標(biāo)表示，求解交點(diǎn)P的坐標(biāo)，由坐標(biāo)可得P為DE的中點(diǎn)．

解答 （1）解：由e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，且△PF₁F₂的周長(zhǎng)為4+2$\sqrt{3}$．可得2a+2c=4+2$\sqrt{3}$，
解得c=$\sqrt{3}$，即a=2
∴：a²=4，b²=1，
∴橢圓C₁的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：由（1）得A（-2，0），B（2，0），
設(shè)D（x₀，y₀），∴E（x₀，0），
∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴可設(shè)C（2，y₁），
∴$\overrightarrow{AD}$=（x₀+2，y₀），$\overrightarrow{OC}$=（2，y₁），
由$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{OC}$可得：（x₀+2）y₁=2y₀，即y₁=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，
∴直線AC的方程為：$\frac{y}{\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}$=$\frac{x+2}{4}$，整理得：y=$\frac{{y}_{0}}{2（{x}_{0}+2）}$（x+2），
點(diǎn)P在DE上，令x=x₀代入直線AC的方程可得：y=$\frac{{y}_{0}}{2}$，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，$\frac{{y}_{0}}{2}$），
∴P為DE的中點(diǎn)
∴PD=DE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了直線與圓錐曲線相切的條件，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，對(duì)于（2）的證明體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，屬難度較大的題