Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（III）過點A（-e^-2，0）作函數(shù)y=f（x）圖象的切線，求切線方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f′（x）=lnx+1，知f′（x）＜0得lnx＜-1，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）由f（x）≥-x²+ax-6，得，設(shè)，則，由此能求出g（x）最小值g（2）=5+ln2，從而能求出實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）設(shè)切點T（x，y）則k_AT=f′（x），故，由此能求出切線方程．
解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=lnx+1
∴f′（x）＜0得lnx＜-1 （2分）
∴
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是； （4分）
（Ⅱ）∵f（x）≥-x²+ax-6即
設(shè)，
則 （7分）
當(dāng)x∈（0，2）時g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（2，+∞）時g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
∴g（x）最小值g（2）=5+ln2，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，5+ln2]； （10分）
（Ⅲ）設(shè)切點T（x，y）則k_AT=f′（x），
∴即e²x+lnx+1=0
設(shè)h（x）=e²x+lnx+1，當(dāng)x＞0時h′（x）＞0，
∴h（x）是單調(diào)遞增函數(shù) （13分）
∴h（x）=0最多只有一個根，
又，
∴
由f'（x）=-1得切線方程是． （16分）
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的靈活運(yùn)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識．