Question

已知函數f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（I）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）設g（x）=x²-2x+1，若對任意x₁∈（0，+∞），總存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，進行分類討論，能求出f（x）的單調區(qū)間．
（Ⅱ）由已知，轉化為f（x）_max＜g（x）_max，由已知得g（x）_max=g（0）=1，由此能求出實數a的取值范圍．
解答：解：（I）∵f（x）=ax+lnx（a∈R），
∴，
①當a≥0時，由于x＞0，故ax+1＞0，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞）．
②當a＜0時，由f′（x）=0，得x=-．
在區(qū)間上（0，-），f′（x）＞0，在區(qū)間（-）上，f′（x）＜0，
所以，f（x）的單調增區(qū)間為（0，-），單調減區(qū)間為（-）．
故當a≥0時，f（x）的單調增區(qū)間為（0，+∞）．
當a＜0時，f（x）的單調增區(qū)間為（0，-），單調減區(qū)間為（-，+∞）．
（Ⅱ）由已知，轉化為f（x）_max＜g（x）_max，
由已知得g（x）_max=g（0）=1，
由（I）知，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，值域為R，故不符合題意，
（或者舉出反例：存在f（e³）=ae³+3＞1，故不符合題意．）
當a＜0時，f（x）在（0，-）上單調遞增，在（-）上單調遞減，
故f（x）的極大值即為最大值，f（-）=-1+ln（-）=-1-ln（-a），
∴1＞-1-ln（-a），解得a＜-．
點評：本題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想及有限與無限思想．