Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥面A₁BD；
（Ⅱ）設(shè)點O為AB₁上的動點，當OD∥平面ABC時，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，取BC邊的中點M，連結(jié)AM，可證AM垂直于底面，從而得到AM垂直于BD，在正方形BB₁C₁C中，通過直角三角形角的關(guān)系可證BD⊥B₁M，利用線面垂直的判定定理得到要證的結(jié)論；
（Ⅱ）取AA₁的中點為N，連結(jié)ND，OD，ON．利用線面平行的判定定理證明線面平行，從而得到面面平行，再借助于兩面平行的性質(zhì)得到線線平行，根據(jù)N點是AA₁的中點，得到O為AB₁的中點，即．
解答：（Ⅰ）證明：取BC中點為M，連結(jié)AM，B₁M，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面ABC⊥面CB₁，△ABC為正三角形，
所以AM⊥BC，
故AM⊥平面CB₁，又BD?平面CB₁，
所以AM⊥BD．
又正方形BCC₁B₁中，，
所以∠BB₁M=∠CBD，
所以BD⊥B₁M，又B₁M∩AM=M，
所以BD⊥平面AB₁M，故AB₁⊥BD，
又正方形BAA₁B₁中，AB₁⊥A₁B，A₁B∩BD=B，
所以AB₁⊥面A₁BD；
（Ⅱ）取AA₁的中點為N，連結(jié)ND，OD，ON．
因為N，D分別為AA₁，CC₁的中點，所以ND∥平面ABC，
又OD∥平面ABC，ND∩OD=D，所以平面NOD∥平面ABC，
所以O(shè)N∥平面ABC，又ON?平面BAA₁B₁，平面BAA₁B₁∩平面ABC=AB，
所以O(shè)N∥AB，注意到AB∥A₁B₁，所以O(shè)N∥A₁B₁，又N為AA₁的中點，
所以O(shè)為AB₁的中點，即為所求．
點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了直線與平面平行的判定，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力，是中檔題．