Question

（2013•南京二模）關(guān)于x的不等式（2ax-1）lnx≥0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)a的值為

1

2

．

Answer 1

分析：依題意，對(duì)x∈（0，1]，x∈[1，+∞）分類討論，構(gòu)造f（x）=

1

2x

，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：∵（2ax-1）lnx≥0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，lnx≤0，
∴2ax-1≤0，
∴a≤

1

2x

（0＜x≤1），
令f（x）=

1

2x

，則f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（1）=

1

2

∴a≤

1

2

．①
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，lnx≥0，
∴（2ax-1）lnx≥0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立?2ax-1≥0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，
同理可求a≥f（x）_max=f（1）=

1

2

．②
由①②得：a=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查構(gòu)造函數(shù)與分類討論思想，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．