Question

13．已知B（-2，0），C（2，0），△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點(diǎn)，且|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1（x＞\sqrt{2}）$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由圖可知∴|AB|-|AC|=|BE|-|CF|=|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$，即點(diǎn)A的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支（y≠0），則頂點(diǎn)A的軌跡方程可求．

解答 解：如圖，
設(shè)E、F分別為圓與AB、AC的兩個(gè)切點(diǎn)，
則|BE|=|BD|，|CD|=|CF|，
又|AE|=|AF|，
∴|AB|-|AC|=|BE|-|CF|=|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)A的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支（y≠0），
且a=$\sqrt{2}$，c=2，
∴b=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{2}$，
∴方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1（x＞\sqrt{2}）$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1（x＞\sqrt{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義，考查了平面幾何知識(shí)在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是中檔題．