Question

18．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2-i，1+i，4所對應(yīng)的點分別是A、B、C，四邊形ABCD為平行四邊形．
（1）求點D所對應(yīng)的復(fù)數(shù)；
（2）求?ABCD的對角線BD的長．

Answer 1

分析 （1）由題意知，在復(fù)平面內(nèi)點A、B、C 所對應(yīng)的坐標分別為（2，-1），（1，1），（4，0），設(shè)點D的坐標為（x，y），由于四邊形ABCD是平行四邊形，可得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，解出即可得出；
（2）在復(fù)平面內(nèi)點B、D 所對應(yīng)的坐標分別為（1，1）、（5，-2），利用兩點之間的距離公式即可得出．

解答 解：（1）由題意知，在復(fù)平面內(nèi)點A、B、C 所對應(yīng)的坐標分別為（2，-1），（1，1），（4，0），
設(shè)點D的坐標為（x，y），則$\overrightarrow{AB}$=（-1，2），$\overrightarrow{DC}$=（4-x，-y），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，即（-1，2）=（4-x，-y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1=4-x}\\{2=-y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
∴點D所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5-2i．
（2）∵在復(fù)平面內(nèi)點B、D 所對應(yīng)的坐標分別為（1，1）、（5，-2），
∴|BD|=$\sqrt{（5-1）^{2}+（-2-1）^{2}}$=5．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的坐標運算、平行四邊形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．