Question

已知數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=3，a₃=9
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求使+…+成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知，=（a_n-1-1）•（a_n+1-1）（n≥2），再由a₁=3，a₃=9即可求得a₂，a₄歸納可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知，a_n=2ⁿ+1，從而知數(shù)列{}為首項(xiàng)與公比均為的等比數(shù)列，從而可求其前n項(xiàng)和，依題意，解不等式即可．
解答：解：（1）∵數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=3=2¹，a₃=9=2³+1，
∴a_n＞1，=（a₁-1）•（a₃-1）=2×8=16，
∴a₂=5=2²+1；
同理可求a₄=17=2⁴+1，
a₅=33=2⁵+1，
…
∴a_n=2ⁿ+1；
（2）∵a_n=2ⁿ+1，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，故=，
∴=，又=，
∴數(shù)列{}為首項(xiàng)與公比均為的等比數(shù)列，
∴++…+=++…+==1-＞，
∴n≥11（n∈N^*）．
∴正整數(shù)n_min=11．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的求和，考查歸納推理的應(yīng)用與等比關(guān)系的確定，屬于中檔題．