Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1,a_n+1=(n∈N^*).

(1)求a₂,a₃的值;

(2)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式;

(3)求證: ＜.

Answer 1

分析:本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí).

(1)解:∵a₁=1,a_n+1=,

∴a₂==,a₃===.

(2)解斨法一:∵a₁=1,a_n+1=,∴a_n＞0.

∴==+=(1+)²-1.

∴1+=(1+)².

∴l(xiāng)g(1+)=lg(1+)²=2lg(1+).

∴數(shù)列{lg(1+)}是首項(xiàng)為lg(1+)=lg2,公比為2的等比數(shù)列.∴l(xiāng)g(1+)=2n-1·lg2=lg.

∴1+=.∴a_n=.

解法二:∵a₁=1,a_n+1=,∴a_n＞0.

∴=()².

∴l(xiāng)g()=lg()²=2lg().

∴數(shù)列{lg()}是首項(xiàng)為lg()=lg,公比為2的等比數(shù)列.

∴l(xiāng)g()=2^n-1·lg=lg.

∴=.∴a_n=.

解法三:由(1)知a₂===,

a₃==,猜想:a_n=.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.

①當(dāng)n=1時(shí),a₁=1=,猜想正確.

②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N^*)時(shí),a_k=成立,

則a_k+1=====.

∴當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也正確.

由①②知對(duì)任意n∈N^*,a_n=.

(3)證明:由(2)得.

∴+…+

=+()²++…+.

∵2^n-1=1+++…+,

當(dāng)n≥4時(shí),2^n-1=1+++…+＞n+1.

當(dāng)n≥4時(shí),＜()ⁿ⁺¹,

∴＜+()²++［()⁵+()⁶+…+()ⁿ⁺¹］

=+++

=+-()ⁿ⁺¹=-()ⁿ⁺¹＜.

容易驗(yàn)證當(dāng)n=1,2,3時(shí),＜也成立.

∴＜.