Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長1正四棱柱，O₁為A₁C₁與B₁D₁的交點．
（1）設(shè)AB₁與底面A₁B₁C₁D₁所成的角為，求該棱柱的側(cè)面積；
（2）（理）若點C到平面AB₁D₁的距離為，求四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．
（3）（文）設(shè)高AA₁=2，求四面體AB₁D₁C的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長為1的正四棱柱，則AB₁與底面A₁B₁C₁D₁所成角即為∠AB₁A₁，則AB₁的長度可求，進而可求該棱柱的側(cè)面積；
（2）由圖形借助面面垂直找到點C在平面AB₁D₁的位置，利用三角形的相似解出．
（3）由高AA₁=2，ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長為1的正四棱柱，則可得三棱錐A-A₁B₁D₁的體積，而四面體AB₁D₁C的體積為正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積減去四個三棱錐A-A₁B₁D₁的體積，故四面體AB₁D₁C的體積可求．
解答：解：（1）由于ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長1正四棱柱，則AB₁與底面A₁B₁C₁D₁所成的角為∠AB₁A₁，
又由AB₁與底面A₁B₁C₁D₁所成的角為，則=，故
則該棱柱的側(cè)面積為．
（2）∵O₁為B₁D₁的中點，而△AB₁D₁是以B₁D₁為底邊的等腰三角形，
∴AO₁⊥B₁D₁∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁∴平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁且交線為AO₁，
∴點C到平面AB₁D₁的投影點必落在A0₁上即垂足H，
在矩形AA₁C₁C中，利用R_t△AA₁O₁∽R_t△CHA 得到
而
∴?，則AA₁=2，
故正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V=1×1×2=2．
（3）由于ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長為1的正四棱柱，高AA₁=2，
則三棱錐A-A₁B₁D₁的體積為，
又由四面體AB₁D₁C的體積為正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積減去四個三棱錐A-A₁B₁D₁的體積
則四面體AB₁D₁C的體積為，
故四面體AB₁D₁C的體積為．
點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、線面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力