Question

兩個自然數(shù)的平方差，則稱這個自然數(shù)為“智慧數(shù)”比如16＝5²－3²，16就是一個“智慧數(shù)”．在自然數(shù)列中從1開始數(shù)起，試問第1990個“智慧數(shù)”是哪個數(shù)？并請你說明理由．

Answer 1

解析：顯然1不是“智慧數(shù)”，而大于1的奇數(shù)2k＋1＝(k＋1)²－k²，都是“智慧數(shù)”．

4k＝(k＋1)²－(k－1)²

可見大于4且能被4整除的數(shù)都是“智慧數(shù)”而4不是“智慧數(shù)”，由于x²－y²＝(x＋y)(x－y)(其中x、y∈N)，當x，y奇偶性相同時，(x＋y)(x－y)被4整除．當x，y奇偶性相異時，(x＋y)(x－y)為奇數(shù)，所以形如4k＋2的數(shù)不是“智慧數(shù)”

在自然數(shù)列中前四個自然數(shù)中只有3是“智慧數(shù)”．此后每連續(xù)四個數(shù)中有三個“智慧數(shù)”．

由于1989＝3×663，所以2656＝4×664是第1990個“智慧數(shù)”．