Question

10．已知函數f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$，若方程m-e^-x=f（x）在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]內有實數解，則實數m的最小值是（　　）

• A． e${\;}^{-\frac{1}{3}}$+$\frac{4}{3}$
• B． e${\;}^{\frac{1}{3}}$+$\frac{4}{3}$
• C． e${\;}^{\frac{1}{3}}$-$\frac{4}{3}$
• D． e${\;}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 化簡f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$=-x+log₂（$\frac{2}{1+x}$-1），從而由復合函數及函數的四則運算可得函數f（x）是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上的減函數；化簡可得方程m=e^-x+f（x）在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]內有實數解，而函數y=e^-x+f（x）=e^-x-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上是減函數，從而可得實數m的最小值是${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$+log₂$\frac{1}{2}$=${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{4}{3}$．

解答 解：∵f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$=-x+log₂（$\frac{2}{1+x}$-1），
而y=-x是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上的減函數，y=$\frac{2}{1+x}$-1是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上的減函數，y=log₂x是（0，+∞）上的增函數，
∴函數f（x）是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上的減函數；
∵方程m-e^-x=f（x）在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]內有實數解，
∴方程m=e^-x+f（x）在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]內有實數解，
又∵y=e^-x在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上是減函數，
∴函數y=e^-x+f（x）=e^-x-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上是減函數，
∴${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$+log₂$\frac{1}{2}$≤e^-x-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$≤${e}^{\frac{1}{3}}$+$\frac{1}{3}$+log₂2，
∴${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$+log₂$\frac{1}{2}$≤m≤${e}^{\frac{1}{3}}$+$\frac{1}{3}$+log₂2，
∴實數m的最小值是${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$+log₂$\frac{1}{2}$=${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{4}{3}$；
故選D．

點評 本題考查了函數的單調性的判斷，復合函數與函數的四則運算的應用，同時考查了轉化法的應用，屬于中檔題．