Question

已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)，
(1)求四棱錐P-ABCD的體積；
(2)是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論；
(3)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

解：(1)由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形， 側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2， ∴， 即四棱錐P-ABCD的體積為； (2)不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE； 證明如下：連接AC， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC， ∵PC⊥底面ABCD，且BD平面ABCD， ∴BD⊥PC， 又∵AC∩PC=C， ∴BD⊥平面PAC， ∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE平面PAC， ∴不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE；
(3)如圖，在平面DAE內(nèi)過點(diǎn)D作DF⊥AE于F，連接BF， ∵AD=AB=1，， ∴Rt△ADF≌Rt△ABE， 從而△ADF≌△ABF， ∴BF⊥AE， ∴∠DFB為二面角D-AE-B的平面角， 在Rt△ADE中，， 又， 在△DFB中，由余弦定理得 ， ∴， 即二面角D-AE-B的大小為。