Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{（1-a）}{6}$x³+$\frac{1}{2}$ax²-$\frac{3}{2}$x（a∈R），g（x）=lnx-$\frac{3}{2}$．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），記φ（x）=f′（x）-g（x）．證明：對(duì)任意a∈（2，3），x₁，x₂∈[1，2]時(shí)，不等式|φ（x₁）-φ（x₂）|＜ln2恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，可得所求切線的方程；
（2）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，及φ（x）=f′（x）-g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得最值，求出|φ（x₁）-φ（x₂）|≤φ（x）_max-φ（x）_min=φ（1）-φ（2），再與ln2比較即可得證．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-$\frac{3}{2}$x的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x-$\frac{3}{2}$，
即有y=f（x）在x=1處的切線斜率為k=-$\frac{1}{2}$+2-$\frac{3}{2}$=0，
切點(diǎn)為（1，-$\frac{1}{6}$+1-$\frac{3}{2}$）即為（1，-$\frac{2}{3}$），
可得y=f（x）在x=1處的切線方程為y=-$\frac{2}{3}$；
（2）證明：函數(shù)f（x）=$\frac{（1-a）}{6}$x³+$\frac{1}{2}$ax²-$\frac{3}{2}$x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1-a}{2}$x²+ax-$\frac{3}{2}$，
φ（x）=f′（x）-g（x）=$\frac{1-a}{2}$x²+ax-lnx，
φ′（x）=（1-a）x+a-$\frac{1}{x}$=-$\frac{（a-1）（x-1）（x-\frac{1}{a-1}）}{x}$，
由2＜a＜3，可得$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{a-1}$＜1，x∈[1，2]時(shí)，φ′（x）≤0，
可得φ（x）在[1，2]遞減，
即有|φ（x₁）-φ（x₂）|≤φ（x）_max-φ（x）_min=φ（1）-φ（2）=$\frac{1-a}{2}$+a-（2-2a+2a-ln2）
=$\frac{a-3}{2}$+ln2＜ln2．
則有對(duì)任意a∈（2，3），x₁，x₂∈[1，2]時(shí)，
不等式|φ（x₁）-φ（x₂）|＜ln2恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．