Question

已知數列{a_n}滿足a1=1，a2=2，an+2=(1+cos2

nπ

2

)•an+sin2

nπ

2

，則該數列的前10項的和為______．

Answer 1

因為a₁=1，a₂=2，所以a₃=（1+cos²

π

2

）a₁+sin²

π

2

=a₁+1=2，a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，當n=2k-1（k∈N^*）時，a_2k+1=[1+cos²

(2k-1)π

2

]a_2k-1+sin²

(2k-1)π

2

=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以數列{a_2k-1}是首項為1、公差為1的等差數列，因此a_2k-1=k．
當n=2k（k∈N^*）時，a_2k+2=（1+cos²

2kπ

2

）a_2k+sin²

2kπ

2

=2a_2k．
所以數列{a_2k}是首項為2、公比為2的等比數列，因此a_2k=2^k．
該數列的前10項的和為1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77
故答案為：77