Question

3．已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=m（x²-4x+lnx）-（2m²+1）x+2lnx，其中m∈R，其在（1，0）處的切線所對應(yīng)函數(shù)g（x）同時滿足g（x）-g（-x）=0，g（x）+g（-x）=0
（1）已知函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k²-2k無公共點，求實數(shù)k的取值范圍
（2）已知p≤0，若對任意的x∈[1，2]，總有成立f（x）≥$\frac{（p-2）x}{2}+\frac{p+2}{2x}+2x-{x}^{2}$，求P的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，由函數(shù)f（x）在（1，0）處的切線斜率為0，即有f′（1）=0，f（1）=0，列方程可得m=-1，即可得到f（x）的解析式；求f（x）的導數(shù)，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間，進而得到函數(shù)的極大值，也為最大值0，再由題意可得k²-2k＞0，解得即可；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-（$\frac{（p-2）x}{2}$+$\frac{p+2}{2x}$+（2x-x² ），化簡整理，對p討論，p=0，p=-1，-1＜p＜0，p＜-1，運用導數(shù)判斷單調(diào)性，求得最值，即可得到p的范圍

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x）=m（2x-4+$\frac{1}{x}$）-（2m²+1）+$\frac{2}{x}$，
由函數(shù)g（x）同時滿足g（x）-g（-x）=0，g（x）+g（-x）=0，
得：g（x）=g（-x）=0
即：函數(shù)f（x）在（1，0）處的切線斜率為0，
即有f′（1）=0，f（1）=0，
即為2m²+m-1=0，且2m²+3m+1=0，
解得m=-1，
即有f（x）=-x²+x+lnx，
f（x）=-x²+x+lnx的導數(shù)為f′（x）=-2x+1+$\frac{1}{x}$=$\frac{-{2x}^{2}+x+1}{2}$=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
則有f（x）在x=1處取得極大值，也為最大值，且為0，
由于函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k²-2k無公共點，則k²-2k＞0，
解得k＞2或k＜0；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-（$\frac{（p-2）x}{2}$+$\frac{p+2}{2x}$+2x-x² ）=lnx-$\frac{p}{2}$x-$\frac{p+2}{2x}$，
F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{p}{2}$+$\frac{p+2}{{2x}^{2}}$=$\frac{-{px}^{2}+2x+（p+2）}{{2x}^{2}}$，
當p=0時，F(xiàn)′（x）=$\frac{2x+2}{{2x}^{2}}$＞0，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，F(xiàn)（1）=-1＜0不成立，（舍）
當p≠0時F′（x）=$\frac{-p（x+1）（x-\frac{p+2}{p}）}{{2x}^{2}}$，
當1+$\frac{2}{p}$＜-1，即-1＜p＜0時，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，F(xiàn)（1）=-p-1＜0，不成立；
當-1＜1+$\frac{2}{p}$≤1，即p＜-1時，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，所以F（1）=-2p-2≥0，解得p≤-1，
所以，此時p＜-1；
當p=-1時，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，成立；
綜上，p的取值范圍是（-∞，-1）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查不等式恒成立思想，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．