Question

某地人民醫(yī)院急診科2011年的住院病人數(shù)y（人）是時間t（1≤t≤12，t∈N^*，單位：月）的函數(shù)，根據(jù)資料有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
y	40	37	33	30	27	24	20	23	26	31	34	36

y與t函數(shù)可以近似的看成正弦函數(shù)y=Asin（ωt+φ）+b（A，ω，φ，b為正常數(shù)且0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)所得函數(shù)解析式估計一年中大約有幾個月的時間急診科的住院病人數(shù)大于或等于35人．

Answer 1

考點(diǎn)：在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先求出b，利用最多的月為40人，最少的月為20人，求出A，再求出ω=

π

6

，φ=

π

3

，即可求函數(shù)的解析式；
（2）10sin（

π

6

t+

π

3

）+30≥35，求出t的范圍，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）一年總?cè)藬?shù)為361人，平均每月為361/12=30人，b=30，
最多的月為40人，最少的月為20人，相差20人，此為正弦函數(shù)的最大值和最小值之差，即2A=20，A=10，
t=1，正弦函數(shù)取最大值：ωt+φ=ω+φ=

π

2t

=7，正弦函數(shù)取最小值：ωt+φ=7ω+φ=

3π

2

，
解得ω=

π

6

，φ=

π

3

，
∴y=10sin（

π

6

t+

π

3

）+30；
（2）10sin（

π

6

t+

π

3

）+30≥35，
∴sin（

π

6

t+

π

3

）≥

1

2

，
∴

π

6

≤

π

6

t+

π

3

≤

5π

6

，
∴-2≤t≤2，
∴t=-2，-1，1，2，分別相當(dāng)于11，12，1，2月 （0無意義），每年約有4個月內(nèi)住院人數(shù)大于或等于35人．

點(diǎn)評：本題考查在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，屬于中檔題．