Question

【題目】如圖，已知橢圓，是長軸的一個端點，弦過橢圓的中心，且．

（1）求橢圓的方程．

（2）過橢圓右焦點的直線，交橢圓于兩點，交直線于點，判定直線的斜率是否依次構成等差數列？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，理由見詳解.

【解析】

（1）由題意可得，求出點的坐標，代入橢圓方程得到，從而求得橢圓的方程；

（2）設出直線的方程，和橢圓方程聯立，利用根與系數的關系得到，并求得的值， 由說明直線的斜率成等差數列．

（1）由，得，即，

所以是等腰三角形，

又，∴點的橫坐標為2；

又，

設點的縱坐標為，∴，解得，

應取，

又點在橢圓上，∴，解得，

∴所求橢圓的方程為；

（2）由題意知橢圓的右焦點為，，

由題意可知直線的斜率存在，

設直線的方程為，

代入橢圓并整理，得；

設，，直線的斜率分別為，

則有，，

可知的坐標為；

∴

，

又；

所以，

即直線的斜率成等差數列．