Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若存在，使得 成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的，且是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1） （2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）由和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得遞推式： ，再根據(jù)疊乘法可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；注意分段討論n=1與（2）由 成等差數(shù)列，得，即得，所以， ，即得，即得結(jié)論

試題解析：（Ⅰ）由已知：得，兩式相減得，又

當(dāng)時(shí)，由已知，所以， ，于是

所以數(shù)列成等比數(shù)列，即當(dāng)時(shí)

綜上數(shù)列的通項(xiàng)公式為

（Ⅱ）對(duì)于任意的，且，，，成等差數(shù)列，證明如下：

當(dāng)時(shí)，若存在 N*，使得，，成等差數(shù)列，則2=+

∴，由（Ⅰ）知數(shù)列的公比，于是對(duì)于任意的N*，且，

；所以2=+即，，成等差數(shù)列；

綜上：對(duì)于任意的，且，，，成等差數(shù)列.