Question

已知函數f（x）=3^x，且f^-1（18）=a+2，g（x）=3^ax-4^x
（1）求a的值；
（2）求g（x）的表達式；
（3）當x∈[-1，1]時，g（x）的值域并判斷g（x）的單調性．

Answer 1

解：（1）f^-1（x）=log₃x，log₃18=a+2，
∴a=log₃2．
（2）g（x）=（3^a）^x-4^x=（3^log₃2）^x-4^x=2^x-4^x．
（3）令u=2^x，
∵-1≤x≤1，則≤u≤2，
g（x）=φ（u）=u-u²=-（u-）²+，
當u=時，φ（u）_max=，當u=2時，φ（u）_min=-2．
∴g（x）的值域為[-2，]，
當-1≤x≤1時，≤u≤2，φ（u）為減函數，而u=2^x為增函數，
g（x）在[-1，1]上為減函數．
分析：（1）欲求a的值，根據f^-1（18）=a+2，只要即從原函數式中反解出x，后再進行x，y互換，求得反函數的解析式即可．
（2）由（1）求得的a值直接代入g（x）=3^ax-4^x欲即得g（x）的表達式；
（3）令u=2^x，將g（x）的值域、單調性問題轉化為二次函數u-u²的值域、單調性解決即可．
點評：本題考查反函數的求法及函數單調性的判斷，屬于基礎題目，要會求一些簡單函數的值域及單調性判斷，掌握互為反函數的函數圖象間的關系．